题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

对于函数y=f（x），x∈D，若同时满足以下条件：
①函数f（x）是D上的单调函数；
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则称函数f（x）是闭函数．
（1）判断函数f(x)=2x+

4

x

，x∈[1，10]；g（x）=-x³，x∈R是不是闭函数，并说明理由；
（2）若函数f(x)=

x+2

+k，x∈[-2，+∞）是闭函数，求实数k的取值范围．

答案

（1）f′(x)=2-

4

x2

=

2(x2-2)

x2

令f"（x）=0
解得x=

2

(x=-

2

舍）
∵x∈[1，

2

)时f"（x）＜0；
x∈(

2

，10]时f"（x）＞0
∴f（x）在[1，

2

)上是减函数，在(

2

，10]上是增函数
∴函数f（x）不是[1，10]上的单调函数
∴f(x)=2x+

4

x

不是闭函数．
②∵g"（x）=-x²≤0∴g（x）=-x³在R上是减函数，
设g（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则

b=-a3 a=-b3 a＜b

，解得

a=-1 b=1

∴存在区间[-1，1]⊆R，
使f（x）在[-1，1]上的值域也是[-1，1]
∴函数g（x）=-x³是闭函数
（2）函数f(x)=

x+2

+k在定义域上是增函数
设函数f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则

a=k+ a+2 b=k+ b+2

，
故a，b是方程x=k+

x+2

的两个不相等的实根，
命题等价于

x2-(2k+1)x+k2-2=0 x≥-2 x≥k

有两个不相等的实根，
当k≤-2时，

2k+1 2 ＞-2 (2k+1)2-4(k2-2)＞0 22-(2k+1)k+k2-2≥0

，
解得k＞-

9

4

，∴k∈(-

9

4

，-2]．
当k＞-2时，

2k+1 2 ＞k (2k+1)2-4(k2-2)＞0 k2-(2k+1)k+k2-2≥0

，无解．
∴k的取值范围是(-

9

4

，-2]