题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x²-2x，g（x）=ax+2，其中a＞0．
（Ⅰ）对∀x∈[-1，2]，有f（x）＜g（x）+2成立，求正数a的取值范围．
（Ⅱ）对∀x₁∈[-1，2]，∃x₀∈[-1，2]，使g（x₁）=f（x₀），求正数a的取值范围．

答案

（I）由题意，h（x）=f（x）-g（x）-2=x²-（2+a）x-4＜0对任意x∈[-1，2]恒成立，
只需

h(-1)=a-1＜0 h(2)=-2a-4＜0

成立，故0＜a＜1．
（II）当a＞0时，g（x）=ax+2在[-1，2]上的值域A=[2-a，2+2a]，
f（x）=x²-2x在[-1，2]上的值域B=[-1，3]，
由题意，A⊆B，得0＜a≤

1

2

．