题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数F（x）=

1

a

-

1

x

，x＞0，a＞0．
（1）讨论f（x）在定义域上的单调性，并给予证明；
（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，（0＜m＜n），求a的取值范围和相应的m，n的值．

答案

（1）f（x）在定义域上单调递增．证明如下
任取x₁＞x₂＞0，
则f(x1)-f(x2)=(

1

a

-

1

x1

)-(

1

a

-

1

x2

)
=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

．
∵x₁＞x₂＞0，∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0．
∴

x1-x2

x1x2

＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在定义域上单调递增．
（2）由（1）知f（x）在[m，n]上单调递增，
则f（x）在[m，n]上的值域是[f（m），f（n）]．
即f(m)=

1

a

-

1

m

=m，f(n)=

1

a

-

1

n

=n．
∴m，n为方程ax²-x+a=0的两实根，
∴△=1-4a²＞0，
∴-

1

2

＜a＜

1

2

，又a＞0，可得a∈(0，

1

2

)．
则m=

1- 1-4a2

2a

，n=

1+ 1-4a2

2a

．