题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f(x)=ax+

a+1

x

 (a＞0)，g（x）=4-x，已知满足f（x）=g（x）的x有且只有一个．
（1）求a的值，并证明函数f（x）在（2，+∞）上为增函数；
（2）若函数h（x）=k-f（x）-g（x）（其中x∈（0，+∞），k∈R）在[m，n]上的值域为[m，n]（0＜m＜n），求k的取值范围．

答案

（1）ax+

a+1

x

 =4-x，得（a+1）x²-4x+a+1=0（*）
由a＞0知x=0不是方程（*）的解，
故△=16-4（a+1）²=0，得a=1．…（2分）
设x₁＞x₂＞2，
可得：f(x1)-f(x2)=…=

(x1-x2)(x1x2-2)

x1x2

＞0，…（4分）
所以，函数f（x）在（2，+∞）上为增函数．…（5分）
（2）h(x)=k-4-

2

x

在（0，+∞）上为增函数，…（6分）
h（x）在[m，n]上的值域为[m，n]，故有h（m）=m，h（n）=n，
所以h（x）=x在（0，+∞）上有两个不等的实根．…（7分）
得方程：k-4-

2

x

=x，即x2-(k-4)x+2=0
在（0，+∞）上有两个不等的实根x₁，x₂．
所以：

△=(k-4)2-8＞0 x1+x2=k-4＞0 x1x2=2＞0

，（9分）　
得k＞4+2

2

．…（11分）
所以k的取值范围为(4+2

2

， +∞)…（12分）