题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
a•2x-2+a |
2x+1 |
(1)试判断f(x)的单调性,并证明你的结论;
(2)若f(x)为定义域上的奇函数,
①求函数f(x)的值域;
②求满足f(ax)<f(2a-x2)的x的取值范围.
答案
(1)函数f(x)为定义域(-∞,+∞),
且f(x)=a-
2 |
2x+1 |
任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2
则f(x2)-f(x1)=a-
2 |
2x2+1 |
2 |
2x1+1 |
2(2x2-2x1) |
(2x2+1)(2x1+1) |
∵y=2x在R上单调递增,且x1<x2
∴0<2x1<2x2,2x2-2x1>0,2x1+1>0,2x2+1>0,
∴f(x2)-f(x1)>0,
即f(x2)>f(x1),
∴f(x)在(-∞,+∞)上的单调增函数.…(5分)
(2)∵f(x)是定义域上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),
即a-
2 |
2-x+1 |
2 |
2x+1 |
化简得2a-(
2•2x |
2x+1 |
2 |
2x+1 |
∴2a-2=0,即a=1,…(8分)
(注:直接由f(0)=0得a=1而不检验扣2分)
①由a=1得f(x)=1-
2 |
2x+1 |
∵2x+1>1,∴0<
1 |
2x+1 |
∴-2<-
2 |
2x+1 |
2 |
2x+1 |
故函数f(x)的值域为(-1,1).…(12分)
②由a=1,得f(x)<f(2-x2),
∵f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,∴x<2-x2,…(14分)
解得-2<x<1,
故x的取值范围为(-2,1).…(16分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=a•2x-2+a2x+1(a∈R).(1)试判断f(x)的单调性,并证明你的结论;(2)若f(x)为定义域上的奇函数,①求函数f(x)的值域;】;主要考察你对函数定义域等知识点的理解。[详细]
举一反三
| ||
|x|-x |
A.[-1,2] | B.[-1,0)∪(0,2] | C.[-2,0) | D.(0,2] |
A.[0,2] | B.[2,5) | C.[1,∞) | D.[1,5) |
| ||
|
a |
2 |
b |
2 |
A.(0,+∞) | B.(-∞,0) | C.(
| D.(0,
|
| ||
x-2 |
A.[-
| B.[-
| C.[-
| D.(2,+∞) |
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