题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数 f（x）=3x²-6x-5．
（Ⅰ）求不等式 f（x）＞4的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜x²-（2a+6）x+a在x∈[1，3]上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）-2x²+mx+5-6m（m∈R），记区间D=（1-m，m+15），若不等式g（x）＜0的解集为M，且D∩M=∅，求实数m的取值范围．

答案

（I）不等式 f（x）＞4
即3x²-6x-9＞0
解得x＞3，或x＜-1
∴不等式 f（x）＞4的解集为（-∞，-1）∪（3，+∞）
（II）若不等式f（x）＜x²-（2a+6）x+a在x∈[1，3]上恒成立，
即不等式2x²+2ax-5-a＜0在x∈[1，3]上恒成立，
令h（x）=2x²+2ax-5-a
则

h(1)＜0 h(3)＜0

，即

a-3＜0 5a+13＜0

解得a＜-

13

5

（III）∵g（x）=f（x）-2x²+mx+5-6m=x²+（m-6）x-6m
∴当g（x）=0时，x=6，或x=-m
当-m＞6，即m＜-6时，不等式g（x）＜0的解集M=（6，-m）
∵D=（1-m，m+15），且D∩M=∅，
∴

1-m＜m+15 -m≤1-m，或m+15≤6

，
∴-7＜m＜-6
当-m=6，即m=-6时，不等式g（x）＜0的解集M=∅
满足D∩M=∅，
当-m＜6，即m＞-6时，不等式g（x）＜0的解集M=（-m，6）
∵D=（1-m，m+15），且D∩M=∅，
∴

1-m＜m+15 6≤1-m，或m+15≤-m

，
∴-6＜m≤-5
综上可得实数m的取值范围为-7＜m≤-5