题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
(I)写出S4的所有奇子集;
(Ⅱ)求证:Sn的奇子集与偶子集个数相等;
(Ⅲ)求证:当n≥3时,Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.
答案
解析
试题分析:(I)根据奇子集的定义可直接得出,注意应按规律一一列出以防重写或漏写。(Ⅱ)取Sn的任意一个奇子集可能含有1也可能不含1,当奇子集含有1时,令,当奇子集不含1时,令,则为的偶子集,且与相对应,反之也成立。因为与相对应即Sn的奇子集与偶子集个数相等。(Ⅲ)由(Ⅱ)知Sn的奇子集与偶子集个数相等,且Sn中每一个元素在奇子集与偶子集中出现的次数是相同的,所以Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和。
试题解析:(I)
(Ⅱ)对于Sn的每个奇子集,
当时,取;当时,取。
则为的偶子集。
反之,若为的偶子集,
当时,取;当时,取。
则为的奇子集。
的奇子集与偶子集之间建立了一一对应的关系,所以的奇子集和偶子集的个数相等。
(Ⅲ)对于任意,
当时,含的的子集共有个。由(Ⅱ)可知,对每个数,在奇子集与偶子集中,所占的个数是相等的;
当时,将(Ⅱ)中的1换成3即可。
可知在奇子集与偶子集中占的个数是相等。
综合(1)(2),每个元素都是在奇子集与偶子集中占的个数相等。
所以Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和。
核心考点
试题【设集合Sn={1,2,3,,n),若X是Sn的子集,把X中所有元素的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0),若X的容量为奇(偶)数,则称X为Sn的奇(偶)子集】;主要考察你对集合的概念与表示等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. |
C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
A.充分不必要条件 | B.必要不充分条件 |
C.充要条件 | D.既不充分也不必要条件 |
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