题目

题型：模拟题难度：来源：

如图所示为一种蓄水箱的放水装置，AOB是以O点为转轴的轻质杠杆，AO呈水平状态，A、O两点间距离为40cm，B、O两点的水平距离为10cm，B、O两点的竖直距离为7cm。A点正下方的Q 是一个重为5N、横截面积为200cm²的盖板（盖板恰好能堵住出水口），它通过细绳与杠杆的A端相连。在水箱右侧的水平工作台上，有一质量为60kg 的人通过滑轮组拉动系在B点呈竖直状态的绳子，从而可以控制水是否能从出水口流出。若水箱中水深为50cm，当盖板恰好要被拉起时，人对绳子的拉力为F₁，工作台对人的支持力为F_N1；若水箱中水深为100cm，当盖板恰好要被拉起时，人对绳子的拉力为F₂，工作台对人的支持力为F_N2。已知F_N1与F_N2之比为69∶77，盖板的厚度、绳重及滑轮的摩擦均可忽略不计，人对绳的拉力与人所受重力在同一直线上，取g=10N/kg。求：
（1）当水箱中水深为50cm时，盖板上表面所受水产生的压强；
（2）人对绳子的拉力F₁的大小；
（3）若与杠杆A、B两端连接的细绳足够结实，而人拉滑轮组的绳子所能承受的最大拉力为330N，则为能实现使用图中的装置放水，水箱中水的最大深度不得超过多少？

答案

解：
（1）盖板上表面所受水产生的压强 P₁=ρ水gh =1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.5m =5000Pa。
（2）水深h₁=50cm时，盖板受到水产生的压力 F_Q1=P₁S=5000Pa×0.02m²=100N。
当盖板恰好要被拉起时，受力情况如图甲所示，根据平衡条件，可知A端绳的拉力F_A1=F_Q1+G_板，所以F_Al=105N。此时作用在杠杆A端的拉力F"_A1=F_Al=105N。作用在杠杆A端拉力的力臂l_A等于40cm； B端拉力的力臂l_B=10cm。根据杠杆平衡条件可知，此时作用在B端绳上的拉力F_B1=（l_A/l_B）·F"_A1=420N。
根据力的作用的相互性可知，此时连接B端的绳对动滑轮C的作用力F_C1=F_Bl=420N。
设动滑轮所受重力为G_动，其受力情况如图乙所示，根据平衡条件对动滑轮应有5F₁=F_C1+G_动。此时人的受力情况如图丙所示，因F₁=F"₁，根据平衡条件，对人有F_N1=G_人+F"₁=m_人g+（F_C1+G_动）。
同理，当水深h₂=100cm时，盖板受到水产生的压力F_Q2=P₂S=ρ_水gh₂S=200N 。
当盖板恰好要被拉起时，绳对杠杆A端绳的拉力F"_Q2=F_A2=F_Q2+G_板=205N。
此时作用在B端绳上的拉力F_B2=l_AF"_A2／l_B=820N。 作用在动滑轮C下端的作用力F_C2=F_B2=820N。
根据平衡条件对动滑轮应有5F₂=F_C2+G_动。
此时绳对人的拉力F"₂=F₂，所以根据平衡条件对人有F_N2=G_人+F"₂=m_人g+（F_C2+G_动）。 
依题意知F_NI∶F_N2=69∶77，联立可解得G_动=30N。
所以F₁=（F_C1+G_动）=（420N+30N）=90N。
 （3）设拉力F₃=330N时，水箱中水的最大深度为h₃时盖板恰好能被拉起，通过上述分析可知，此时作用在动滑轮C下端的力F_C3=5F₃－G_动=5×330N－30N=1620N。
此时作用在杠杆A端的拉力F"_A3=l_BF_C3／l_A=405N。
根据平衡条件可知，当盖板恰好要被拉起时A端绳对它的拉力F_A3=F_Q3+G_板=F"_A3，因为F_Q3=ρ_水gh₃S，所以可解得 h₃=（F_A3－G_板）／（ρ_水gS）=（405N－5N）／（1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.02m²） =2m。