一只青蛙在平面直角坐标系上从点(1,1)开始,可以按照如下两种方式跳跃:
①能从任意一点(a,b),跳到点(2a,b)或(a,2b);
②对于点(a,b),如果a>b,则能从(a,b)跳到(a﹣b,b);如果a<b,则能从(a,b)跳到(a,b﹣a).
例如,按照上述跳跃方式,这只青蛙能够到达点(3,1),跳跃的一种路径为:(1,1)→(2,1)→(4,1)→(3,1).
请你思考:这只青蛙按照规定的两种方式跳跃,能到达下列各点吗?如果能,请分别给出从点(1,1)出发到指定点的路径;如果不能,请说明理由.
(1)(3,5);(2)(12,60);(3)(200,5);(4)(200,6).
解:(1)能到达点(3,5)和点(200,6).
从(1,1)出发到(3,5)的路径为: (1,1)→(2,1)→(4,1)→(3,1)→(3,2) →(3,4)→(3,8)→(3,5).
从(1,1)出发到(200,6)的路径为: (1,1)→(1,2)→(1,4)→(1,3)→(1,6)→(2,6)→(4,6) →(8,6)→(16,6)→(10,6)→(20,6)→(40,6)→(80,6) →(160,6)→(320,6)→(前面的数反复减20次6)→(200,6);
(2)不能到达点(12,60)和(200,5).
理由如下:
∵a和b的公共奇约数=a和2b的公共奇约数=2a和b的公共奇约数,
∴由规则①知,跳跃不改变前后两数的公共奇约数.
∵如果a>b,a和b的最大公约数=(a﹣b)和b的最大公约数, 如果a<b,a和b的最大公约数=(b﹣a)和b的最大公约数,
∴由规则②知,跳跃不改变前后两数的最大公约数. 从而按规则①和规则②跳跃,均不改变坐标前后两数的公共奇约数.
∵1和1的公共奇约数为1,12和60的公共奇约数为3,200和5的公共奇约数为5.
∴从(1,1)出发不可能到达给定点(12,60)和(200,5).
B.
C.
D.
(1)试计算a2=_________ ,a3=_________,a4=_________;
(2)根据前面计算的规律,猜想出a2000,a2003,a2008的值分别为_________,_________,_________.
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