题目

题型：同步题难度：来源：

同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为1²+2²+3²+···+n².但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来探究并解决这个问题. 首先，通过探究.我们已经知道0×1+l×2+2×3+···+ (n-1)×n=n(n+1)(n-1)时，我们可以这样做：
(1)观察并猜想：
1²+2²=(1+0) ×1+ (1+ 1)×2= 1+0×1+ 2+ 1×2 = (1+ 2 ) + (0×1+1×2 )
1²+2²+3²
= (1+0)×1+ (1+1)×2+(1+2)×3    
= 1+0×1+2+1×2+3+2×3    
= (1+2+3)+(0×1+1×2+2×3)
1²+2²+3²+4²
=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+            
= 1+0×1+2+ 1×2+3+2×3+    
= (1+2+3+4) +（     ）    
......
(2)归纳结论：    1²+ 2²+ 3²+... +n² 
 =(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+···+[1+（n-1）]n    
=1+0×1+2+l×2+3+2×3+···+n+(n- 1)×n
=(        )+[       ]
=         +            
=×    
(3)实践应用：        
通过以上探究过程.我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是          个.

答案

解：(1)(1+3)×4 
 4+3×4  
0×1+1×2+2×3+3×4
(2) 1+2+3+ ...+n 
 0×1+1×2+2×3+... + (n-1)×n 
 n(n+1) 
 n(n+1)(n-1) 
 n(n+1) (2n+1)
(3)338350