题目

题型：不详难度：来源：

一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′ 装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α （∠CBE = α，如图1所示）．
探究 如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′ 交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如
图2所示．解决问题：
（1）CQ与BE的位置关系是       ，BQ的长是       dm；
（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液 = 底面积S_BCQ×高AB）
（3）求α的度数.(注：sin49°＝cos41°＝，tan37°＝)

拓展 在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图.若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC = x，BQ = y.分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围.

延伸 在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图5，隔板高NM =" 1" dm，BM = CM，NM⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α = 60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm³.

答案

（1）CQ∥BE， 3。
（2）。
（3）37°。
拓展：y=-x+3．   37°≤α≤53°。
延伸：溢出液体可以达到4dm³

解析

分析：探究：（1）根据水面与水平面平行可以得到CQ与BE平行，利用勾股定理即可求得BD的长：
。
（2）液体正好是一个以△BCQ是底面的直棱柱，据此即可求得液体的体积；。
（3）根据液体体积不变，据此即可列方程求解。
拓展：分容器向左旋转和容器向右旋转两种情况讨论。
延伸：当α=60°时，如图6所示，设FN∥EB，GB′∥EB，过点G作GH⊥BB′于点H，此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G为底面的直棱柱，求得棱柱的体积，即可求得溢出的水的体积，据此即可作出判断。
探究：（1）CQ∥BE， 3。
（2）。
（3）在Rt△BCQ中，，∴α=∠BCQ=37°。
拓展：当容器向左旋转时，如图3，0°≤α≤37°，
∵液体体积不变，∴。
∴y=-x+3．
当容器向右旋转时，如图，同理可得：。

当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点B′重合时，如图，

由BB′=4，且，得PB=3，
∴由tan∠PB′B=，得∠PB′B=37°。∴α=∠B′PB=53°。
此时37°≤α≤53°。
延伸：当α=60°时，如图所示，设FN∥EB，GB′∥EB，过点G作GH⊥BB′于点H。

在Rt△B′GH中，GH=MB=2，∠GB′B=30°，
∴HB′=2。
∴MG=BH=4－2＜MN。
此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G为底面的直棱柱。
∵，
∴。
∴溢出液体可以达到4dm³