题目

题型：期末题难度：来源：

将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H.。
（1）当α=30°时（如图②），求证：AG=DH；
（2）当α=60°时(如图③)，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由。

答案

证明：（1）∵∠A=∠ADM=30°
∴ AM=DM
∵∠BDC=90°-∠ADM=60°=∠B
∴ CD=CB
∵MG⊥AD，NH⊥DB
∴AG=，DH=
∵D是AB的中点
∴AD=DB
∴AG=DH
（2）结论成立
∵∠ADM=60°
∴∠BDN=30°
在△AMD和△DNB中
∵∠ADM=∠B，AD=DB，∠A=∠BDN
∴△AMD≌△DNB
∴AM=DN
∵ MG⊥AD，NH⊥DB
∴∠AGM=∠DHN=90°
∴△AGM≌△DHN
∴AG=DH