题目

题型：不详难度：来源：

把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点逆时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．
（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；
（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的

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？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．

答案

（1）在上述旋转过程中，BH=CK，四边形CHGK的面积不变．
证明：连接CG，KH，
∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点，
∴CG=BG，CG⊥AB，
∴∠ACG=∠B=45°，
∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，
∴∠BGH=∠CGK，
在△BGH与△CGK中，

∠B=∠KCG BG=CG ∠BGH=∠CGK

∴△BGH≌△CGK（ASA），
∴BH=CK，S_△BGH=S_△CGK．
∴S_{四边形CHGK}=S_△CHG+S_△CGK=S_△CHG+S_△BGH=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

×4×4=4，
即：S_{四边形CHGK}的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化；

（2）∵AC=BC=4，Bk=x，
∴CH=4-x，CK=x．
由S_△GHK=S_{四边形CHGK}-S_△CHK，
得y=4-

1

2

x（4-x），
∴y=

1

2

x²-2x+4．
由0°＜α＜90°，得到BH最大=BC=4，
∴0＜x＜4；

（3）存在．
根据题意，得

1

2

x²-2x+4=

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×8，
解这个方程，得x₁=1，x₂=3，
即：当x=1或x=3时，△GHK的面积均等于△ABC的面积的

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