题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC，O为原点，点A，C分别在x轴，y轴上，点B坐标为（m，）（其中m＞0），在BC边上选取适当的点E和点F，将△OCE沿OE翻折，得到△OGE；再将△ABF沿AF翻折，恰好使点B与点G重合，得到△AGF，且∠OGA=90°。
（1）求m的值；
（2）求过点O，G，A的抛物线的解析式和对称轴；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△OPG是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出所有满足条件的点P的坐标（不要求写出求解过程）。
【提示：抛物线的对称轴是，顶点坐标是】

答案

解：（1）∵B（m，），
由题意可知AG=AB=，OG=OC=，OA=m
∵∠OGA=90°，
∴OG²+AG²=OA²
∴2+2=m²
又∵m＞0，
∴m=2；
（2）过G作直线GH⊥x轴于H，
则OH=1，HG=1，故G（1，1），
又由（1）知A（2，0），
设过O，G，A三点的抛物线解析式为y=ax²+bx+c
∵抛物线过原点，
∴c=0，
又∵抛物线过G，A两点，
∴，
解得，
∴所求抛物线为y=-x²+2x，它的对称轴为x=1；
（3）答：存在，
满足条件的点P有（1，0），（1，-1），（1，1-），（1，1+）。