题目

题型：不详难度：来源：

已知：如图，在等边△ABC中取点P，使得PA、PB、PC的长分别为3，4，5，将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°到线段AD，连接BD，下列结论：
①△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到；②点P与点D的距离为3； ③∠APB=150°；④
其中正确的结论有 （     ）

A．1个      B．2个   C．3个      D．4个

答案

D.

解析

试题分析： 连PD，如图，
∵线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AD，∴AD=AP，∠DAP=60°，又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC，∴∠DAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP，∴∠DAP=∠PAC，∴△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到，所以①正确；
∵DA=PA，∠DAP=60°，∴△ADP为等边三角形，∴PD=PA=3，所以②正确；
在△PBD中，PB=4，PD=3，由①得到BD=PC=5，∵3²+4²=5²，即PD²+PB²=BD²，∴△PBD为直角三角形，且∠BPD=90°，由②得∠APD=60°，∴∠APB=∠APD+∠BPD=60°+90°=150°，所以③正确；
∵△ADB≌△APC，∴S_△ADB=S_△APC，∴S_△APC+S_△APB=S_△ADB+S_△APB=S_△ADP+S_△BPD=×3²+×3×4=，所以④正确．故选D．