题目

题型：专项题难度：来源：

如图所示，已知以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，E为BC边上的中点，连结DE。
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连结OE、AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形， 并在此条件下求sin∠CAE的值。

答案

解：（1）证明：连结OD、DB，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，
∵E为BC边上的中点，
∴CE=EB=DE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠EDB+∠ODB=∠EBD+ ∠OBD。
在Rt△ABC中，∠EBD+∠OBD=90°，
∴∠EDO=∠EDB+∠ODE=90°。
∵D为⊙O上的点，∴DE是⊙O切线。
（2）解：欲使四边形AOED为平行四边形，只需DE=OA，
∵DE=BC，OA=AB，
∴BC=AB，即BC=AB，
∴∠ABC=90°，
∴∠CAB=45°，
故当∠CAB=45°时，四边形AOED 是平行四边形
 作EF⊥AC，垂足为F，
设CE=EB=ED=k，
∴AB=2k，∴DB=，∴EF=。
∴AE=