题目

题型：福建省月考题难度：来源：

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是△OAC的重心，且OP=，∠A=30^o．
（1）求劣弧的长；
（2）若∠ABD=120^o，BD=1，求证：CD是⊙O的切线．

答案

（1）解：延长OP交AC于E，
∵ P是△OAC的重心，OP= ，
∴ OE=1， 
且 E是AC的中点. ∵ OA=OC，
∴ OE⊥AC. 在Rt△OAE中，
∵ ∠A=30°，OE=1，
∴ OA=2.
∴ ∠AOE=60°
∴ ∠AOC=120°
∴ . 
（2）证明：连结BC. ∵ E、O分别是线段AC、AB的中点，
∴ BC∥OE，且BC=2OE=2=OB=OC.
∴ △OBC是等边三角形. 
∴ ∠OBC=60°. ∵ ∠OBD=120°，
∴ ∠CBD=60°=∠AOE. 
∵ BD=1=OE，BC=OA，
∴ △OAE ≌△BCD. 
∴ ∠BCD=30°
∵ ∠OCB=60°，
∴ ∠OCD=90°
∴ CD是⊙O的切线.