题目

题型：浙江省月考题难度：来源：

如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D
（1）尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形， 保留痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；
（3）若过A，D，C三点的圆的半径为，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似，若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由.

答案

解：（1）作出圆心O，
以点O为圆心，OA长为半径作圆
（2）证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°
∴AD是⊙O的直径
连结OC，∵∠A=∠B=30°， ∴∠ACB=120°，
又∵OA=OC， ∴∠ACO=∠A =30°
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°
∴BC⊥OC，∴BC是⊙O的切线.
（3）存在. 
∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°，
∴∠BCD=∠B， 即DB=DC
又∵在Rt△ACD中，
DC=AD，
∴BD=
①过点D作DP₁// OC，
则△P₁D B∽△COB，，
∵BO=BD+OD=，
∴P₁D=×OC=× = 
②过点D作DP₂⊥AB
则△BDP₂∽△BCO
∴，
∵BC=
∴