题目

题型：河北省期中题难度：来源：

如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于点D，点E为边BC上一个动点．
（1）当点E移动到什么位置时，ED为⊙O的切线？并证明之；
（2）如果点E在（1）的位置的条件下，且ED为⊙O的切线，⊙O的半径为， ED=2，求BD的长．

答案

（1）当点E为BC中点时，ED为⊙O的切线
证明：连接OD
∵点O为直径AB的中点，点E为BC的中点
∴ OE为△ABC的中位线
∴OE//AB ∴ ∠COE= ∠A ∠DOE= ∠ODA
∵OA=OD ∴ ∠ODA= ∠A ∴ ∠COE= ∠DOE
又∵CO=DO EO=EO
∴△ODE≌△OCE
∴ ∠ODE= ∠C=90
又∵点C在⊙O上
∴ED为⊙O的切线；
（2）解：连接CD
∵ED为⊙O的切线
∴∠ODE=90°
∴在Rt△ODE中 OE=
由（1）得OE是△ABC的中位线
∴OE=AB ∴AB=2OE=2×
∵∠C=90° 则在Rt△ABC中 AB=5 直径AC=2×=3
∴BC=
又∵AC是⊙O的直径
∴∠ADC=90°
∴S_△ABC=
∴CD=
在Rt△BDC中 BD=