题目

题型：安徽省中考真题难度：来源：

如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径．点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度。

答案

解：（1）连接OC，
因为点C在⊙O上，0A=OC，
所以∠OCA=∠OAC，
因为CD⊥PA，
所以∠CDA=90°，
有∠CAD+∠DCA=90°，
因为AC平分∠PAE，
所以∠DAC=∠CAO，
所以∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°，
又因为点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，所以CD为⊙O的切线；
（2）过O作0F⊥AB，垂足为F，
所以∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°，
所以四边形OCDF为矩形，
所以OC=FD，OF=CD，
∵DC+DA=6，
设AD=x，则OF=CD=6-x，
∵⊙O的直径为10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得
即，
化简得：x²-11x+18=0
解得x=2或x=9，
由AD＜DF，知0＜x＜5，故x=2，
从而AD=2，AF=5-2=3，
∵OF⊥AB，
由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=6。