题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60°。
（1）求⊙O的直径；
（2）若D是AB延长线上一点，连接CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切？
（3）若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜2），连接EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形？

答案

解：（1）∵AB是⊙O的直径， 　　
∴∠ACB=90°,
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°,
∴AB=2BC=4，
即⊙O的直径为4cm；（2）连接OC，如图（1）所示，
则OC=OB，
∵CD⊥CO，
∴∠OCD=90°，
∵∠BAC=30°，
∴∠COD=2∠BAC=60°，
∴∠D=180°-∠COD-∠OCD=30°，
∴OD=2OC=4，
∴BD=OD-OB=4-2=2（cm），
∴当BD长为2cm时，CD与⊙O相切；（3）根据题意得：
BE=（4-2t）cm，BF=tcm；
①当EF⊥BC时，如图（2）所示，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BAC，
∴，即：，
解得：t=1；
②当EF⊥BA时，如图（3）所示，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BCA，
∴，即：，
解得：，
∴当t=1s或时，△BEF为直角三角形。