题目

题型：模拟题难度：来源：

已知：如图1，∠ACG=90°，AC=2，点B为CG边上的一个动点，连接AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得△ADB，过点D作DF⊥CG 于点F。
图1                             图2
（1）当BC=时，判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）如图2，点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点，连接AD、AH，当∠CAB=∠BAD=∠DAH时，求BC的长。

答案

解：（1）判断：直线FD与以AB为直径的⊙O相切，
证明：如图①，作以AB为直径的⊙O，
∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的，
∴△ADB≌△ACB，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵O为AB的中点，连接DO，
∴OD=OB=，
∴点D在⊙O上，
在Rt△ACB中，BC=，AC=2，
∴tan∠CAB=，
∴∠CAB=∠BAD=30°，
∴∠ABC=∠ABD=60°，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴∠ABC=∠BOD，
∴FC//DO，
∵DF⊥ CG，
∴∠ODF=∠BFD=90°，
∴OD⊥FD，
∴FD为⊙O的切线；
（2）如图②，延长AD交CG于点E 同（1）中的方法，可证点C在⊙O上，
∴四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠FBD=∠1+∠2，
同理∠FDB=∠2+∠3，
∵∠1= ∠2=∠3，
∴∠FBD=∠FDB，
又∠DFB=90°，
∴∠FBD=∠CAD=45°，
∵∠ACE=90°，
∴EC=AC=2，
设BC=x，可知BD=BC=x，
又∠EDB=90°，
∴EB=，
∵EB+BC=EC，
+x=2，
解得x=2-2，
 ∴BC=2-2。