题目

题型：模拟题难度：来源：

如图1，已知AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，垂足为M，弦AE与CD交于F，则有结论AD²=AE·AF成立（不要求证明）。
（1）若将弦CD向下平移至与⊙O相切于B 点时，如图2，则AE·AF是否等于AG²？如果不相等，请探求AE·AF等于哪两条线段的积？并给出说明；
（2）当CD继续向下平移至与⊙O相离时，如图3，在（1）中探求的结论是否还成立？并说明理由。

答案

解：（1）AE·AF不等于AG²，应该有结论AE·AF=AG·AH，
证明：如图①，连接BG，EG，
∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，
∴∠ABF=∠AGB=90°，
∴∠BAF+∠BFA=90°，
∴∠AGE+∠BGE=90°，
∴∠BAF+∠BFA=∠AGF+∠BGE，
而∠BAF=∠BGE，
∴∠BFA=∠AGE，
又∠FAH=∠GAE，
∴△FAH∽△GAE，
∴
∴所以AE·AF=AG·AH； （2）（1）中探求的结论还成立，
证明：如图②连接EG，BG，
∵AB是⊙O的直径，AM⊥CD，∠AMF=∠AGB=90°，
∴∠AFM+∠FAM=∠ACE+∠BGE=90°，
而∠FAM=∠BGE，
∴∠AFM=∠AGE，
又∠FAH=∠GAE，
∴△FAH∽△GAE，
∴
∴ AE·AF=AG·AH。