题目

题型：广东省中考真题难度：来源：

如图1，以点M（-1，0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y=-x-与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F。
（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；
（2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP∶PH=3∶2，求cos∠QHC的值；
（3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N，是否存在一个常数a，始终满足MN·MK=a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由。

答案

解：（1）如图1，OE=5，r=2，CH=2；

图1

（2）如图2，连接QC、QD，则，，
易知，故，，，
由于CD=4，
∴；

图2

（3）如图3，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则，
∴，
∵∠3=∠4，
∴∠2+∠3=90°，
由于，故，
而，故，
在△AMK和△NMA中，∠1=∠2，∠AMK=∠NMA；
故；，
即：，
故存在常数a，始终满足，常数a=4。

图3