题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD。
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）如果∠BDE=60°，PD=，求PA的长。

答案

解：（1）PD是⊙O的切线，连接OD，
∵OB=OD，
∴∠2=∠PBD，
又∵∠PDA=∠PBD，
∴∠PDA=∠2，
又∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，即∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠PDA=90°，即OD⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（2）∵∠BDE=60°，∠ODE=90°，∠ADB=90°，
∴∠2=30°，∠1=60°，
∵OD=OA，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠POD=60°，
∴∠P=∠PDA=30°，
∴PA=AD=AO=OD，
在Rt△PDO中，设OD=x，
∴x²+（）²=（2x）²，
∴x₁=1，x₂=-1（不合题意，舍去），
∴PA=1。