题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线．
（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．
（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．

答案

解：（1）∵∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP，
在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°
∴2∠BCP+2∠BCA=180°，
∴∠BCP+∠BCA=90°，
∴直线CP是⊙O的切线．
（2）如下图，作BD⊥AC于点D，
∵PC⊥AC
∴BD∥PC
∴∠PCB=∠DBC
∵BC=2，sin∠BCP=，
∴sin∠BCP=sin∠DBC===，
解得：DC=2，∴由勾股定理得：BD=4，
∴点B到AC的距离为4．
（3）如下图，连接AN，
在Rt△ACN中，AC==5，
又CD=2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3．
∵BD∥CP，∴，∴CP=．
在Rt△ACP中，AP==，AC+CP+AP=5++=20，
∴△ACP的周长为20．