题目

题型：北京期末题难度：来源：

如图，在△ABC中，∠C=120°，AC=BC，AB=4，半圆的圆心O在AB上，且与AC，BC分别相切于点D，E．
（1）求半圆O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．

答案

（1）解：连接OD，OC，
∵半圆与AC，BC分别相切于点D，E，
∴∠DCO=∠ECO，且OD⊥AC．
∵AC=BC，
∴CO⊥AB且O是AB的中点．
∴AO=AB=2．
∵∠C=120°，
∴∠DCO=60°．
∴∠A=30°．
∴在Rt△AOD中，OD=AO=1．
即半圆O的半径为1；
（2）设CO=x，则在Rt△AOC中，
∵∠A=30°，
∴AC=2x，
由勾股定理得：AC²﹣OC²=AO²，
即（2x）²﹣x²=2²，
解得：x=（x=﹣舍去），
∴S_△ABC=AB·OC=×4×=．
∵半圆的半径为1，
∴半圆的面积为，
∴S阴影=﹣=．