解：（1）连接OF、EF、OG；
∵AE是⊙O的直径，AE⊥BE，
∴∠AFE=90°=∠EFB=∠AEB，
又∵G是BE的中点，
∴EG=BE=FG；
∵OE=OF，OG=OG，
∴△OEG≌△OFG（SSS），
∴∠OFG=∠OEG=90°，
∴OF⊥FG，
∴FG为⊙O的切线．
（2）设DE=x，则EC=25﹣x；
∵四边形ABCD是矩形，AD=12，
∴∠D=∠C=90°，BC=AD=12，
∴∠CEB+∠CBE=90°；
由（1）知，∠AEB=90°，
∴∠DEA+∠CEB=90°，
∴∠DEA=∠CBE，
∴△ADE∽△ECB，
∴，
∴，
解得，x₁=9，x₂=16；
当x=9时，25﹣x=16，即DE=9，EC=16；
当x=16时，25﹣x=9，即DE=16，EC=9；
∵CE＞DE，
∴不合题意舍去；
在Rt△ECB中，
∵EB²=EC²+BC²，
∴EB=，
由（1）知得，FG=EB=10．