题目

题型：同步题难度：来源：

如图甲，分别以两个彼此相连的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上），若P过A、B、E三点（圆心在x铀上），抛物线  + bx +c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1，
（1）求B点的坐标；
（2）求证：ME是⊙P的切线；    
（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点，
①求△ACQ周长的最小值
②若FQ=t，S_△ACQ=S，直接写出S与t之间的函数关系式.

答案

解：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，
∵正方形CDEF面积为1.
∴CD=CF=1.     
根据圆和正方形的对称性知OP=PC=n，   
 ∴BC= 2PC= 2n    
而PB=PE，PB²= BC² + PC² = 4n² + 2=5n²，
又PE²=PF²+EF²=（n+1）²+1，    
∴5n² = （n+1）²+1  解得n₁ = 1，n₂ =(舍去).  
∴BC= OC=2，
∴B点坐标为(2.2).
(2)如图甲，由( 1)知A(0，2).C(2，0).
∵A，C在抛物线上

∴抛物钱的对称轴为x=3，即EF所在直线.
∵C与G关于直线x=3对称
∴CF= FG=1，
  
在Rt△PEF与Rt△EMF中，

而∠PFE=∠ FEM= 90°.   
 ∴△PEF∽△EMF    
∴∠EPF=∠FEM.
∴∠PEM = ∠PEF +∠FEM =∠PEF +∠EPF= 90°，  
  ∴ME与⊙P相切.    
(3)①如图乙.延长 AB交抛物线于A". 连 CA"交对称轴x=3于Q，
连 AQ则有AQ=A"Q. △ACQ周长的最小值为 (AC+A"C)的长.    
∵A与A，关于直线x=3对称，    
∴A(0,2) ,A"(6 ,2) ,

②当 Q点在F点上方时.S=t+1. 当 Q点在线段FN 上时，
S=1-t. 当 Q点在N点下方时，：，S=t-1.