题目

题型：不详难度：来源：

已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为

5

，过点C作⊙A的切线交x轴于点B（-4，0）．

（1）求切线BC的解析式；
（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；
（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x轴上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）如图1所示，连接AC，则AC=

5

，
在Rt△AOC中，AC=

5

，OA=1，则OC=2，
∴点C的坐标为（0，2）；
设切线BC的解析式为y=kx+b，它过点C（0，2），B（-4，0），
则有

b=2 -4k+b=0

，解之得

k= 1 2 b=2

；
∴y=

1

2

x+2．（4分）

（2）如图1所示，设点G的坐标为（a，c），过点G作GH⊥x轴，垂足为H点，
则OH=a，GH=c=

1

2

a+2，（5分）
连接AP，AG；
因为AC=AP，AG=AG，所以Rt△ACG≌Rt△APG（HL），
所以∠AGC=

1

2

×120°=60°，
在Rt△ACG中，∠AGC=60°，AC=

5

，
∴sin60°=

AC

AG

，∴AG=

2 15

3

；（6分）
在Rt△AGH中，AH=OH-OA=a-1，GH=

1

2

a+2，
∵AH²+GH²=AG²，
∴（a-1）²+(

1

2

a+2)2=(

2 15

3

)2，
解之得：a₁=

2 3

3

，a₂=-

2 3

3

（舍去）；（7分）
∴点G的坐标为（

2 3

3

，

3

3

+2）．（8分）

（3）如图2所示，在移动过程中，存在点A，使△AEF为直角三角形．（9分）
要使△AEF为直角三角形，∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE≠90°，∴只能是∠EAF=90°；
当圆心A在点B的右侧时，过点A作AM⊥BC，垂足为点M，
在Rt△AEF中，AE=AF=

5

，
则EF=

10

，AM=

1

2

EF=

1

2

10

；
在Rt△OBC中，OC=2，OB=4，则BC=2

5

，
∵∠BOC=∠BMA=90°，∠OBC=∠OBM，
∴△BOC∽△BMA，
∴

OC

AM

=

BC

AB

，
∴AB=

5

2

2

，
∴OA=OB-AB=4-

5

2

2

，
∴点A的坐标为（-4+

5

2

2

，0）；（11分）
当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，过点A′作A′M′⊥BC于点M′，可得：
△A′M′B≌△AMB，A′B=AB=

5

2

2

，
∴OA′=OB+A′B=4+

5

2

2

，
∴点A′的坐标为（-4-

5

2

2

，0）；
综上所述，点A的坐标为（-4+

5

2

2

，0）或（-4-

5

2

2

，0）．（13分）