题目

题型：不详难度：来源：

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，10），点B的坐标为（5，0），点P从A开始在线段AO上以3单位/秒的速度移动，点Q从B开始在线段BO上以1单位/秒的速度移动，当其中一个点到达O时，另一点也随即停止运动．设运动的时间为t（秒）．以P、Q为圆心作⊙P和⊙Q，且⊙P和⊙Q的半径分别为4和1．
（1）在运动的过程中若⊙P与Rt△AOB的一边相切，求此时动点P的坐标；
（2）若⊙P与线段AB有两个公共点，求t的范围；
（3）在运动的过程中，是否存在某一时刻⊙P和⊙Q相切？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

答案

（1）当⊙P与AB相切时，
设AP=x，则有x：5

5

=4：5，解得x=4

5

，所以OP=10-4

5

．
即P₁（0，10-4

5

）；
当⊙P与OB相切时，OP=4，所以P₂（0，4）．

（2）当4≤OP＜4

5

时，⊙P与线段AB有两个公共点，即

4

3

≤t＜

4 5

3

．

（3）若两圆外切，（10-3t）²+（5-t）²=25，
则t=2或t=5（舍去）；
若两圆内切，（10-3t）²+（5-t）²=9，
t=

35± 65

10

．
只取t=2，或t=

35- 65

10

．