题目
题型:常德难度:来源:
(1)求证:AP⊥BP;
(2)若⊙O1与⊙O2的半径分别为r和R,求证:
AP2 |
BP2 |
r |
R |
(3)延长AP交⊙O2于C,连接BC,若r:R=2:3,求tan∠C的值.
答案
(1)证明:如图,连接O2B,O1A,则AO1⊥AB,O2B⊥AB,所以AO1∥O2B,
过点P作两圆的公切线PF,交于AB于点F,作O1E⊥AP,O2D⊥BP.
根据垂径定理,得点E,点D分别是AP,BP的中点.
根据弦切角定理知,∠ABP=∠FPB=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵AO1∥O2B,
∴∠AO1P+∠BO2P=180°,
∴∠FPB+∠FPA=∠APB=90°,
即AP⊥BP;
(2)证明:∵△APB是直角三角形.
∴∠ABP=∠BO2D=∠APO1.
设∠ABP=∠BO2D=∠APO1=β,则有sinβ=
BP |
2R |
AP |
2r |
∴tanβ=
r |
R |
BP |
AP |
r |
R |
1 |
tanβ |
∴(tanβ)2=
AP2 |
BP2 |
r |
R |
∴
AP2 |
BP2 |
r |
R |
(3)∵∠ABP=∠C,
∴tan∠C=tanβ=tan∠ABP=
|
| ||
3 |
核心考点
试题【如图,⊙O1与⊙O2外切于点P,外公切线AB切⊙O1于点A,切⊙O2于点B,(1)求证:AP⊥BP;(2)若⊙O1与⊙O2的半径分别为r和R,求证:AP2BP2】;主要考察你对垂径定理等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:OD⊥AC;
(2)若AE=8,tanA=
3 |
4 |
AB |
(1)求证:PM=PN;
(2)若BD=4,PA=
3 |
2 |
(1)求证:∠CDE=2∠B;
(2)若BD:AB=
3 |
AB |
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