题目

题型：福建省模拟题难度：来源：

如图，圆O的直径为5，在上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点。
（1）求证：AC·CD=PC·BC；
（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；

答案

解：（1）由题意，∵AB是⊙O的直径；
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥CP，
∴∠PCD=90°，
∴∠ACP+∠BCD=∠PCB+∠DCB=90°，
∴∠ACP=∠DCB，
又∵∠CBP=∠D+∠DCB，∠CBP=∠ABP+∠ABC，
∴∠ABC=∠APC，
∴∠APC=∠D，
∴△PCA∽△DCB；
∴，
∴AC·CD=PC·BC；
（2）当P运动到AB弧的中点时，连接AP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°，
又∵P是弧AB的中点，
∴弧PA=弧PB，
∴AP=BP，
∴∠PAB=∠PBA=45°，
又AB=5，
∴PA=，
过A作AM⊥CP，垂足为M，在Rt△AMC中，∠ACM=45°，
∴∠CAM=45°，
∴AM=CM=，
在Rt△AMP中，AM²+AP²=PM²，
∴PM=，
∴PC=PM+=，
由（1）知：AC·CD=PC·BC，3×CD=PC×4，
∴CD=。