题目

题型：期中题难度：来源：

如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC，DE 交直线AB于点E，连结BD。
（1）求证：∠ADB=∠E；
（2）求证：AD²=AC·AE；
（3）当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE请你利用图②进行探索和证明。

答案

解：∵DE∥BC，
∴∠ABC=∠E，
∵∠ADB，∠C都是AB所对的圆周角，
∴∠ADB=∠C，
又∠ABC=∠C，
∴∠ADB=∠E；
（2）∵∠ADB=∠E，∠BAD=∠DAE，
∴△ADB∽△AED，
∴，
即AD²=AB·AE，
∵∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∴AD²=AC·AE；
（3）点D运动到弧BC中点时，
△DBE∽△ADE，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵∠DBC所对的是弧DC，∠EAD所对的是弧DB，
∴∠DBC=∠EAD，
∴∠EDB=∠EAD，
又∠DEB=∠AED，
∴△DBE∽△ADE。