题目

题型：山东省期末题难度：来源：

如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=4，D是线段BC的中点．
（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线．

答案

（1）解：点D在⊙O上．理由如下：
连接OD，过点O作OF⊥BC于点F，
在Rt△BOF中，OB=AB=2，∠B=30°，OF=OB=1，
∴BF=；
∵，
∴DF=，
Rt△ODF中，OD==2=OB，
∴点D在⊙O上；
（2）证明：∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴DO是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．