题目

题型：不详难度：来源：

如图（11），梯形ABCD，AB∥CD ，AB＝2cm，且∠OAB＝30°，∠OBA＝45°，梯形ABCD内部的⊙O分别切四边于E，F，M，N，

小题1:求出⊙O的半径OM的长度
小题2:求出梯形ABCD的周长.

答案

小题1:∵⊙O切AB于M
∴OM⊥AB ……………………………………………………………………1分
又∵∠OAB＝30°，∠OBA＝45°
∴AM＝OM·cot30°＝OM
BM＝OM·cot45°＝OM……………………………………………………3分
∵AM+BM＝AB
∴OM+ OM＝2 则OM＝＝………………………………5分
小题2:作DG⊥AB，

∵⊙O分别切AB，AD于F，M，且∠OAB＝30°
∴∠DAB＝60°……………………………………………………………………7分
又∵OM＝ 则DG＝BC＝2()
∴AD＝＝2()·＝…………8分
AG＝……………………………………………9分
∴ C_梯形ABCD＝2AB－AG+AD+BC＝……………………………10分

解析

（1）利用三角函数算出OM与AB的关系，得出结果；
（2）利用梯形的高等于圆的直径得出高的大小，再根据外切得出∠DAB=60°和∠ABC=90°,然后利用三角函数求得AD、BC、AG的长度，最后利用周长公式求出结果。