题目
题型:不详难度:来源:
(1)∠ABC= °;
(2)AC与⊙O有什么关系?请证明你的结论;
(3)在⊙O上,是否存在点D,使得AD=AC?若存在,请画出图形,并给出证明;若不存在,请说明理由.
答案
解析
(2)AC是⊙O的切线.……………………………………………………3分
证法一
∵AB=OB=OA,∴△OAB为等边三角形,…………………………4分
∴∠OBA=∠AOB=60°.……………………………………………5分
∵BC=BO,∴BC=BA,
∴∠C=∠CAB,……………………………………………………………6分
又∵∠OBA=∠C+∠CAB=2∠C,
即2∠C=60°,∴∠C=30°,………………………………………7分
在△OAC中,∵∠O+∠C=60°+30°=90°,
∴∠OAC=90°,…………………………………………………………8分
∴AC是⊙O的切线;
证法二:
∵BC=OB,∴点B为边OC的中点,……………………………………4分
即AB为△OAC的中位线,…………………………………………………5分
∵AB=OB=BC,即AB是边OC的一半,……………………………6分
∴△OAC是以OC为斜边的直角三角形,…………………………………7分
∴∠OAC=90°,…………………………………………………………8分
∴AC是⊙O的切线;
(3)存在.……………………………………………………………………9分
方法一:
如图2,延长BO交⊙O于点D,即为所求的点.…………………………10分
证明如下:
连结AD,∵BD为直径,∴∠DAB=90°.…………………………11分
在△CAO和△DAB中,
∵,∴△CAO≌△DAB(ASA),………………12分
∴AC=AD.…………………………………………………………………13分
(也可由OC=BD,根据AAS证明;或HL证得,或证△ABC≌△AOD)
方法二:
如图3,画∠AOD=120°,……………………………………………10分
OD交⊙O于点D,即为所求的点.…………………………………………11分
∵∠OBA=60°,
∴∠ABC=180°-60°=120°.
在△AOD和△ABC中,
∵,∴△AOD≌△ABC(SAS),………………12分
∴AD=AC.…………………………………………………………………13分
(1)由已知可知△AOB为等边三角形,利用平角求出∠ABC的度数
(2)利用直角三角形的性质求出∠OAC=90°,从而得出结论
(3)延长BO交⊙O于点D,即为所求的点,利用全等三角形求证
核心考点
试题【如图,已知⊙O的弦AB等于半径,连结OB并延长使BC=OB.(1)∠ABC= °;(2)AC与⊙O有什么关系?请证明你的结论;(3)在⊙O上,是否存在点】;主要考察你对圆的认识等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.50° | B.40° |
C.30° | D.20° |
A.3cm | B.6或14cm | C.2cm | D.4cm |
(1)求证:;
(2),求AE的长;
(3)连结PD,求sin∠PDA的值.
A.若两弧相等,则两弧所对圆周角相等 |
B.有一组对边平行的四边形是梯形. |
C.垂直于弦的直线必过圆心 |
D.有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形. |
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