题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)若点E为线段OD的中点,证明:以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形;
(3)作CF⊥AB于点F,连接AD交CF于点G(如图2),求FG FC 的值.
答案
解析
∴∠BCA=90°,
∴∠ABC+∠BAC=90°,
又∵∠CBD=∠BA,
∴∠ABC+∠CBD=90°,
∴∠ABD=90°,
∴OB⊥BD,
∴BD为⊙O的切线;
(2)证明:连CE、OC,BE,如图,
∵OE=ED,∠OBD=90°,
∴BE=OE=ED,
∴△OBE为等边三角形,
∴∠BOE=60°,
又∵AC∥OD,
∴∠OAC=60°,
又∵OA=OC,
∴AC=OA=OE,
∴AC∥OE且AC=OE,
∴四边形OACE是平行四边形,
而OA=OE,
∴四边形OACE是菱形;
(3)解:∵CF⊥AB,
∴∠AFC=∠OBD=90°,
而AC∥OD,
∴∠CAF=∠DOB,
∴Rt△AFC∽Rt△OBD,
∴,即,
又∵FG∥BD,
∴△AFG∽△ABD,
∴,即,
∴,
∴.
(1)由AB是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°,则∠ABC+∠BAC=90°,而∠CBD=∠BA,得到∠ABC+∠CBD=90°,即OB⊥BD,根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切线;
(2)连CE、OC,BE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED,则△OBE为等边三角形,于是∠BOE=60°,又因为AC∥OD,则∠OAC=60°,AC=OA=OE,即有AC∥OE且AC=OE,可得到四边形OACE是平行四边形,加上OA=OE,即可得到四边形OACE是菱形;
(3)由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°,而AC∥OD,则∠CAF=∠DOB,根据相似三角形的判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD,则有 ,即,再由FG∥BD易证得△AFG∽△ABD,则,即 ,然后求FC与FG的比即可一个定值.
核心考点
试题【如图1,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,OD∥AC,且∠CBD=∠BAC,OD交⊙O于点E.(1)求证:BD是⊙O的切线;(2)若点E为线段OD的中点,证明】;主要考察你对圆的认识等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.相离 | B.相交 | C.相切 | D.以上三种情形都有可能 |
(1)求证:PC是⊙O的切线.
(2)连接AC,若AC=PC,PB=1,求⊙O的半径.
(1)(3分)BD=DC吗?说明理由;
(2)(3分)求∠BOP的度数;
(3)(3分)求证:CP是⊙O的切线;
如果你解答这个问题有困难,可以参考如下信息:
为了解答这个问题,小明和小强做了认真的探究,然后分别用不同的思路完成了这个题目.在进行小组交流的时候,小明说:“设OP交AC于点G,证△AOG∽△CPG”;小强说:“过点C作CH⊥AB于点H,证四边形CHOP是矩形”.
已知O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角系中四点.
(1)根据上述定义,当m=2,n=2时,如图1,线段BC与线段OA的距离是_____,
当m=5,n=2时,如图2,线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为______
(2)如图3,若点B落在圆心为A,半径为2的圆上,线段BC与线段OA的距离记为d,求d关于m的函数解析式.
(3)当m的值变化时,动线段BC与线段OA的距离始终为2,线段BC的中点为M.
①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长;
②点D的坐标为(0,2),m≥0,n≥0,作MH⊥x轴,垂足为H,是否存在m的值,使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
A.45° | B.85° | C.90° | D.95° |
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