题目

题型：不详难度：来源：

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的⊙O交BＣ于点D，交AC于点，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．
（1）(3分)BD＝DC吗？说明理由；
（2）(3分)求∠BOP的度数；
（3）(3分)求证：CP是⊙O的切线；
如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：
为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．

答案

（1）BD=DC。理由见解析（2）90°（3）证明见解析

解析

解：（1）BD=DC。理由如下：连接AD，
∵AB是直径，∴∠ADB=90°。
∵AB=AC，∴BD=DC。
（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，
∴∠BAD=∠CAD 。∴。
∴BD=DE。
∴BD=DE=DC。∴∠DEC=∠DCE。
∵△ABC中，AB=AC，∠A=30°，
∴∠DCE=∠ABC= (180°－30°)=75°。∴∠DEC=75°。
∴∠EDC=180°－75°－75°=30°。
∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°。
∴∠ABP=∠ABC－∠PBC=75°－30°=45°。
∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°。∴∠BOP=90°。
（3）设OP交AC于点G，则∠AOG=∠BOP =90°。
在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴。
又∵，∴。∴。
又∵∠AGO=∠CGP，∴△AOG∽△CPG。
∴∠GPC=∠AOG=90°。∴CP是⊙的切线。
（1）连接AD，由圆周角定理可知∠ADB=90°，再由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，故BD=DC。
（2）由于AD是等腰三角形ABC底边上的中线，所以∠BAD=∠CAD，故，从而可得出BD=DE，故BD=DE=DC，所以∠DEC=∠DCE，△ABC中由等腰三角形的性质可得出∠ABC=75°，故∠DEC=75°由三角形内角和定理得出∠EDC的度数，再根据BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，进而得出∠ABP的度数，再由OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°。
（3）设OP交AC于点G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°在Rt△AOG中，由∠OAG=30°，可知，由得， ，由∠AGO=∠CGP可得出△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90°，故可得出CP是⊙O的切线。