题目

题型：不详难度：来源：

如图，⊙的半径为，正方形顶点坐标为，顶点在⊙上运动．
(1)当点运动到与点、在同一条直线上时,试证明直线与⊙相切；
(2)当直线与⊙相切时，求所在直线对应的函数关系式；
(3)设点的横坐标为，正方形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值与最小值．

答案

（1）证明见解析；（2）y=x+或y=x-；（3）S=13-5x，18，8.

解析

试题分析：（1）易得∠ODC=90°，且CD与圆相交于点D，故直线CD与⊙O相切；
（2）分两种情况，①D₁点在第二象限时，②D₂点在第四象限时，再根据相似三角形的性质，可得比例关系式，代入数据可得CD所在直线对应的函数关系；
（3）设D（x，y₀），有S=BD²=（26-10x）=13-5x；再根据x的范围可得面积的最大最小值．
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD⊥CD，
∵A、O、D在同一条直线上，
∴∠ODC=90°，
∴直线CD与⊙O相切．
（2）解：直线CD与⊙O相切分两种情况：
①如图1，

设D₁点在第二象限时，
过D₁作D₁E₁⊥x轴于点E₁，设此时的正方形的边长为a，
∴（a-1）²+a²=5²，
∴a=4或a=-3（舍去），
∵Rt△BOA∽Rt△D1OE1
∴，
∴OE₁=，D₁E₁=，
∴D₁(−，)．
∴直线OD的函数关系式为y=−x．
∵AD₁⊥CD₁，
∴设直线CD₁的解析式为y=x+b，
把D₁(−，)代入解析式得b=；
∴函数解析式为y=x+．
②如图2，

设D₂点在第四象限时，过D₂作D₂E₂⊥x轴于点E₂，
设此时的正方形的边长为b，则（b+1）²+b²=5²，
解得b=3或b=-4（舍去）．
∵Rt△BOA∽Rt△D₂OE₂，
∴，
∴OE₂=，D₂E₂=，
∴D₂(，−)，
∴直线OD的函数关系式为y=−x．
∵AD₂⊥CD₂，
∴设直线CD₂的解析式为y=x+b，
把D₂(，−)代入解析式得b=-；
∴函数解析式为y=x-．
（3）解：设D（x，y₀），
∴y₀=±，
∵B（5，0），
∴BD²=（5-x）²+（1-x²）=26-10x，
∴S=BD²=（26-10x）=13-5x，
∵-1≤x≤1，
∴S最大值=13+5=18，S最小值=13-5=8．