题目

题型：北京模拟题难度：来源：

如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A，AD与BC 交于点E，点F在DA的延长线上，AF=AE。
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AD=4，cos∠ABF=，求BC的长。

答案

（1）证明：如图，连接BD，
∵AD⊥AB，
∴DB是⊙O的直径，
∴∠1+∠2+∠D=90°，
又∵AE=AF，
∴BE=BF，∠2=∠3，
∵AB=AC，
∴∠D=∠C=∠2=∠3，
∴∠1+∠2+∠3=90°，
即OB⊥BF于B，
∴直线BF是⊙O的切线；

（2）解：作AG⊥BC于点G，
∵∠D=∠2=∠3，
∴cosD=cos∠3=
在Rt△ABD中，∠DAB=90°，AD=4，cosD=，
∴BD=AD/cosD=5，
在Rt△ABC中，∠AGB=90°，AB=3，cos∠2= ，
∴BG=ABcos ∠2 =12/5，
∵AB=AC，
∴BC=2BG=。