题目

题型：四川省期末题难度：来源：

已知：如图，P是⊙O直径AB延长线上一点，过P的直线交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E。
（1）求证：PC·PD=PO·PE；
（2）若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径为2，求弦CF的长。

答案

（1）证明：连结DO，
∵直径AB⊥DF，
∴ AD=AF
∴∠DOA=∠DCF，
∵∠DOP+∠DOA=180°，∠PCE+∠DCF=180°，
∴∠DOP=∠ECP
∵∠P=∠P，
∴ΔPOD∽ΔPCE，
∴，
即PC·PD=PO·PE；

（2）解：∵直径AB⊥DF，
∴DH=FH
∴ED=EF
∴EH平分∠DEF，
∵DE⊥CF，
∴∠DEC=∠DEF=90°，
∴∠FEH=45°，∠CEP=45°，
∵∠DCE=∠P+∠CEP=15°+45°=60°，
∴∠DOH=60°　　　　　　　　　　
在RtΔDOH中，由sin60°=
∴DH=
∴DF=
∵
∴
∴ 　　　　　　　
在RtΔDCF中，由　　　　
∴　　　　　
∴。