题目

题型：河北省中考真题难度：来源：

如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点，
思考
如图1，圆心为O的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α。
当α=______度时，点P到CD的距离最小，最小值为______。
探究一
在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO=_______度，此时点N到CD的距离是_____。
探究二
将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转。
（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围。（参考数椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=）

答案

解：思考：
根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，
当α=90度时，点P到CD的距离最小，
∵MN=8，
∴OP=4，
∴点P到CD的距离最小值为：6-4=2，
故答案为：90，2； 探究一：
∵以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，
如图2，
∵MN=8，MO=4，OY=4，
∴UO=2，
∴得到最大旋转角∠BMO=30度，此时点N到CD的距离是2； 探究二（1）由已知得出M与P的距离为4，
∴PM⊥AB时，点MP到AB的最大距离是4，
从而点P到CD的最小距离为6-4=2，
当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切，
此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°；
（2）如图3，由探究一可知，点P是弧MP与CD的切线时，α大到最大，即OP⊥CD，此时延长PO交AB于点H，α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°，
如图4，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP⊥CD，α达到最小，
连接MP，作HO⊥MP于点H，
由垂径定理，得出MH=3，
在Rt△MOH中，MO=4，
∴sin∠MOH=，
∴∠MOH=49°，
∵α=2∠MOH，
∴α最小为98°，
∴α的取值范围为：98°≤α≤120°。