题目

题型：广西自治区中考真题难度：来源：

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，AE切⊙O于点A，交BC的延长线于点E，连接AC。
（1）若∠B=30°，AB=2，求CD的长；
（2）求证：AE²=EB·EC。

答案

解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=2，
∴BC=AB·cos30°=2×=，
∵弦CD⊥直径AB，∠B=30°，
∴ CM=BC=，
CD=2CM=，
（2）证明：∵AE切⊙O于点A，AB为⊙O的直径，
∴∠BAE=90°，∠ACE=∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BAE=90°，
又∵∠E=∠E，
∴Rt△ECA∽Rt△EAB，
∴，
∴AE²=EB·EC。