题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连结DE，DE=。
（1）求证：AM·MB=EM·MC；
（2）求EM的长；
（3）求sin∠EOB的值。

答案

解：（1）连接AC，EB，则∠CAM=∠BEM
又∠AMC=∠EMB，
∴△AMC∽△EMB
∴
即。
（2）∵DC为⊙O的直径
∴∠DEC=90°
EC=
∵OA=OB=4，M为OB的中点，
∴AM=6，BM=2
设EM=x，则CM=7-x，代入（1），得
解得x₁=3，x₂=4
但EM＞MC，
∴EM=4。
（3）由（2）知，OE=EM=4，作EF⊥OB于F，则OF=MF=OB=1
在Rt△EOF中，EF=
∴sin∠EOB=。