题目

题型：陕西省中考真题难度：来源：

某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。
如图，甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学。点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的km处。 为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：
方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；
方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；
方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。
综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？

答案

解：方案一：由题意可得：MB⊥OB， 
∴点M到甲村的最短距离为MB。 
∵点M到乙村的最短距离为MD，
∴将供水站建在点M处时，管道沿MD、MB线路铺设的长度之和最小，
 即最小值为MB+MD=3+ （km）。方案二：如图①，作点M关于射线OE的对称点M′，
则MM′=2ME，
连接AM′交OE于点P，PE∥AM，PE=。 
∵AM=2BM=6，
∴PE=3
在Rt△DME中， 

∴PE=DE，
∴ P点与E点重合，即AM′过D点。在线段CD上任取一点P′，
连接P′A，P′M，P′M′，则P′M=P′M′。
∵AP′+P′M′＞AM′，
∴把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA、DM线路铺设的长度之和最小， 。方案三：作点M关于射线OF的对称点M′，作M′N⊥OE于N点，交OF于点G，交AM于点H，连接GM，则GM=GM′ 
∴M′N为点M′到OE的最短距离，即M′N=GM+GN 
在Rt△M′HM中，∠MM′N=30°，MM′=6， 
∴MH=3，
∴NE=MH=3 
∵DE=3，
∴N、D两点重合，即M′N过D点。
在Rt△M′DM中，DM=，
∴M′D=
在线段AB上任取一点G′，过G′作G′N′⊥OE于N′点，
连接G′M′，G′M，显然G′M+G′N′=G′M′+G′N′＞M′D 
∴把供水站建在甲村的G处，管道沿GM、GD 线路铺设的长度之和最小，
即最小值为
综上，∵             
∴供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短。