题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点O。
（1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；
（2）当点P运动到的中点时，求CQ的长；
（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长

答案

解：（1）当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∴AB=5，AC：CA=4：3，
∴BC=4，AC=3
又∵AC·BC=AB·C
∴
在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
Rt△ACB∽Rt△PCQ
∴。（2）当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BE⊥于点E
∵P是弧AB的中点
∴
又∠CPB=∠CAB
∴∠CPB=tan∠CAB=
∴
而从
由（1）得。（3）点P在弧AB上运动时，恒有
故PC最大时，CQ取到最大值
当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ 最大值为。