题目

题型：黑龙江省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y=﹣x+m经过点C，交x轴于点D．
（1）求m的值；
（2）点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与0，B两点重合），过点P作x轴的平行线，分别交AB，OC，DC于点E，F，G，设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点H是线段OB上一点，连接BG交OC于点M，当以OG为直径的圆经过点M时，恰好使∠BFH=∠ABO，求此时t的值及点H的坐标．

答案

（1）解：方法一：如图1，∵y=2x+4交x轴和y轴于A，B，
∴A（﹣2，0）B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC=OA=2 过点C作CK⊥x轴于K，
则四边形BOKC是矩形，
∴OK=BC=2，CK=OB=4，
∴C（2，4）代入y=﹣x+m得，4=﹣2+m，
∴m=6；
方法二，如图2，∵y=2x+4交x轴和y轴于A，B，
∴A（﹣2，0）B（0，4），
∴OA=2 OB=4，
延长DC交y轴于点N，
∵y=﹣x+m交x轴和y轴于点D，N，
∴D（m，0）N（0，m），
∴OD=ON，
∴∠ODN=∠OND=45°，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC∥AO，BC=OA=2，
∴∠NCB=∠ODN=∠OND=45°，
∴NB=BC=2，
∴ON=NB+OB=2+4=6，
∴m=6；
（2）解：方法一，如图3，延长DC交y轴于N分别过点E，G作x轴的垂线 垂足分别是R，Q则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形，
∴ER=PO=CQ=1，
∵tan∠BAO==，
∴=，
∴AR=t，
∵y=﹣x+6交x轴和y轴于D，N，
∴OD=ON=6，
∴∠ODN=45°，
∴tan∠ODN=，
∴DQ=t，
又∵AD=AO+OD=2+6=8，
∴EG=RQ=8﹣t﹣t=8﹣t，
∴d=﹣t+8（0＜t＜4）；
方法二，如图4，∵EG∥AD，P（O，t），
∴设E（x₁，t），G（x₂，t），
把E（x₁，t）代入y=2x+4得t=2x₁+4，
∴x₁=﹣2，
把G（x₂，t）代入y=﹣x+6得t=﹣x₂+6，
∴x₂=6﹣t，
∴d=EG=x₂﹣x₁=（6﹣t）﹣（﹣2）=8﹣t，
即d=﹣t+8（0＜t＜4）；
（3）解：方法一，如图5，∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴∠ABO=∠BOC，
∵BP=4﹣t，
∴tan∠AB0==tan∠BOC=，
∴EP=2﹣，
∴PG=d﹣EP=6﹣t，
∵以OG为直径的圆经过点M，
∴∠OMG=90°，∠MFG=∠PFO，
∴∠BGP=∠BOC，
∴tan∠BGP==tan∠BOC=，
∴=，
解得t=2，
∴∠BFH=∠ABO=∠BOC，∠OBF=∠FBH，
∴△BHF≌△BFO，
∴=，
即BF²=BHBO，
∵OP=2，
∴PF=1，BP=2，
∴BF==，
∴5=BH×4，
∴BH=，
∴HO=4﹣=，
∴H（0，）；
方法二，如图6，∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴∠ABO=∠BOC，
∵BP=4﹣t，
∴tan∠AB0==tan∠BOC=，
∴EP=2﹣，
∴PG=d﹣EP=6﹣t，
∵以OG为直径的圆经过点M，
∴∠OMG=90°，∠MFG=∠PFO，
∴∠BGP=∠BOC，
∴tan∠BGP==tan∠BOC=，
∴=，
解得t=2，
∴OP=2，BP=4﹣t=2，
∴PF=1，
∴OF===BF，
∴∠OBF=∠BOC=∠BFH=∠ABO，
∴BH=HF，
过点H作HT⊥BF于点T，
∴BT=BF=，
∴BH===，
∴OH=4﹣=，
∴H（0，）；
方法三，如图7，∵OA=2，OB=4，
∴由勾股定理得，AB=2，
∴P（O，t），
∴BP=4﹣t，
∴cos∠ABO====，
∴BE=（4﹣t），
∵以OG为直径的圆经过点M，
∴∠OMG=90°，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴∠ABG=∠OMG=90°=∠BPG，
∴∠ABO+∠BEG=90°，∠BGE+∠BEG=90°，
∴∠ABO=∠BGE，
∴sin∠ABO=sin∠BGE，
∴==，
即=，
∴t=2，
∵∠BFH=∠ABO=BOC，∠OBF=FBH，
∴△BHF≌△BFO，
∴=，
即BF²=BHBO，
∴OP=2，
∴PF=1，BP=2，
∴BF==，
∴5=BH×4，
∴BH=，
∴OH=4﹣=，
∴H（0，）．