题目

题型：不详难度：来源：

如图（1）是某种台灯的示意图，灯柱BC固定垂直于桌面，AB是转轴，可以绕着点B按顺时针方向转动，AB=10cm，BC=20cm，圆锥形灯罩的轴截面△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°，且PQ∥AB．转动前，点A、B、C在同一直线上．

（1）转动AB，如图（2）所示，若灯心A到桌面的距离AM=25cm，求∠ABC的大小；
（2）继续转动AB，当光线AP第一次经过点C，求此时灯心A到桌面的距离AM长．（假设桌面足够大）

答案

（1）120°；（2）

解析

试题分析：（1）过点B作BD⊥AM于D，求出BD的长度为5，因为AB=10，所以∠ABD=30°，再加上90°就是∠ABC的度数；
（2）过点B作BD⊥AC于D，由题意可知∠BAC=45°，AB=10cm，BC=20cm，即可求得BD、AD、CD的长，再由BC∥AM证得△ACM∽△CBD，根据相似三角形的性质即可求得结果.
（1）过点B作BD⊥AM于D

∵AM=25cm，
∴AD=5cm，
又∵AB=10cm，∠ADB=90°，
∴∠ABD=30°，
∴∠ABC=90°+30°=120°；
（2）过点B作BD⊥AC于D，

由题意可知∠BAC=45°，AB=10cm，BC=20cm
BD=AD=5，CD= 
∵BC∥AM 
∴△ACM∽△CBD 
∴AM=.
点评：解直角三角形的应用是中考必考题，一般难度不大，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键.