题目

题型：不详难度：来源：

某景区有一个景观奇异的天门洞，D点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB返回山脚下的B处，在同一平面内，若测得斜坡BD的长为100米，坡角∠DBC ＝10°，在B处测得A的仰角∠ABC＝40°，在D处测得A的仰角∠ADF＝85°，过D点作地面BE的垂线，垂足为C．
 
（1）求∠ADB的度数：
（2）过D点作AB的垂线，垂足为G，求DG的长及索道AB的长．（结果保留根号）

答案

（1）105°；（2）米

解析

试题分析：（1）由DC⊥CE可得∠BCD=90°，由∠DBC=10°可得∠BDC=80°，再根据周角的定义求解；
（2）过点D作DG⊥AB于点G，先根据含30°的直角三角形的性质求得GD的长，再根据30°角的余弦函数求得GB的长，再根据等腰直角三角形的性质求解即可.
（1）∵DC⊥CE
∴∠BCD=90°
又∵∠DBC=10°
∴∠BDC=80°    
∵∠ADF=85°
∴∠ADB=360°-80°-90°-85°=105°；
（2）过点D作DG⊥AB于点G

在Rt△GDB中，
∠GBD=40°-10°=30°，
∴∠BDG=90°-30°=60°．            
又∵BD=100，
∴GD=BD=100×=50．
∴GB=BD×cos30°=100×
在Rt△ADG=105°-60°=45°
∴GD="GA=50"
∴AB=AG+GB=
答：索道长米．
点评：解直角三角形的应用是中考必考题，一般难度不大，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键.